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"Deus não joga dados..." - A.Einstein

terça-feira, 28 de junho de 2011

cos(θ) = 2 !?

As funções seno e cosseno são normalmente definidas geometricamente como a razão entre lados de um triângulo retângulo de hipotenusa unitária (Fig. 01).

Definição 1 (Geométrica) Considere um círculo de raio unitário centrado na origem [;O;] de um sistema cartesiano ortogonal. Tome os pontos [;A;]  pertencente à circunferência e [;B;] pertencente ao eixo horizontal e seja [;\theta = \angle AOB;], então [;\sin\theta;] é a ordenada de [;A;]e [;\cos\theta;] sua abscissa. Temos ainda que [;\sin\frac{k\pi}{2} = 1, \sin k\pi = 0, \sin\frac{3k\pi}{2} = -1, \sin 2k\pi = 0;] e [;\cos\frac{k\pi}{2}=0,\cos k\pi = -1, \cos\frac{3k\pi}{2}=0, \cos 2k\pi = 0;].
Fig. 01                                
Evidentemente chegamos à:

Propriedade 1  Seja [;\theta \in \mathbb{R};], então:

[;\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta=1;]

Demonstração: Pela Definição 1 e aplicando o Teorema de Pritágoras segue o resultado imediatamente.

Propriedade 2  Seja [;\theta \in \mathbb{R};], então:

[;|\sin(\theta)|\leq 1;] e [;|\cos(\theta)| \leq 1;]

Demonstração: Da propriedade 1 e como [;\theta \in \mathbb{R};]:

[;\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta=1 \Rightarrow (|\sin\theta|)^{2} + (|\cos\theta|)^{2}=1;] 

Logo:

[;(|\sin\theta|)^{2}\leq (|\sin\theta|)^{2}+(|\cos\theta|)^{2}=1;][;\Rightarrow |\sin\theta| \leq 1|;]     
[;(|\cos\theta|)^{2} \leq (|\sin\theta|)^{2} + (|\cos\theta|)^{2}=1;][;\Rightarrow |\cos\theta| \leq 1|;]  ■
 

Essa definição é muito útil e foi suficiente para o desenvolvimento de grande parte da trigonometria que conhecemos hoje. No entanto, existe uma consideração importantíssima nela inclusa: o domínio real

No início do século XVIII iniciou-se uma busca pela expansão dos conceitos trigonométricos para o conjunto dos complexos, motivada  por exemplo pelas tentativas de generalizar a resolução de equações como [;\sin(x)=y;] para qualquer valor de [;y;] (real ou complexo).  Em 1714, Roger Cotes deu um passo crucial e chegou a uma fórmula de brilhantismo ímpar: [;i\theta = ln[cos(\theta) + i\sin(\theta)];].

Talvez por sua morte prematura aos 34 anos, Cotes não recebeu os créditos por sua descoberta, que foi publicada de forma parecida por Leonhard Euler, em 1748: [;e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta;]. Apesar da inegável semelhança, foi Euler quem primeiro tratou os complexos como elementos fundamentais da álgebra das funções e não mais como  objetos matemáticos misteriosos e estranhos.

Cotes cointribuiu ainda em outras áreas importantes, de modo que o próprio Isaac Newton teria certa vez mencionado "se Cotes tivesse vivido mais, talvez tivéssemos descoberto alguma coisa."

Brook Taylor publicou um estudo em 1712 sobre como aproximar uma função diferenciável [;k;]vezes por um polinômio de k-ésimo grau (saiba mais).  A relação do chamado Teorema de Taylor com funções analíticas inspirou uma nova definição, equivalente à anterior, das funções seno e cosseno, utilizando séries de Taylor, i.e. formas de se escrever funções como séries de funções infinitamente diferenciáveis.

Definição 2 (Analítica) Seja [;z\in \mathbb{C};], então

[;\sin z = z - \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{5}}{5!} - \frac{z^{7}}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!};]
[;\cos z = 1 - \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{4}}{4!} - \frac{z^{6}}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!};]

Note que ao expandirmos o domínio para os complexos, as proposições 1 e 2 NÃO são mais válidas.

Ainda utilizando séries de Taylor, podemos definir o número neperiano ([;e;]):

Definição 3  Seja [;z\in \mathbb{C};], então

[;e^{z}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!};]

Com isso, podemos agora provar as relações encontradas por Cotes e Euler:

Teorema 1 (Euler) Seja [;x \in \mathbb{R};]:

 [;e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta;]     [;(I);]

Demonstração: Pela Definição 3 e fazendo [;z=i\theta;]:

[;e^{i\theta}=1+\frac{i\theta}{1!}+\frac{{(i\theta)}^2}{2!}+\frac{{(i\theta)}^3}{3!} +\frac{{(i\theta)}^{4}}{4!} + \cdots;]
[;e^{i\theta} = 1 + i\theta -\frac{\theta^2}{2!}-\frac{i\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\cdots;] 
[;e^{i\theta}= (1 - \frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+\cdots)+i(x-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+\cdots);] 

Assim, pela Definição 2:

[;e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta;]  ■

Como a função seno é ímpar e a função cosseno é par, note que fazendo [;z=-i\theta;] em [;(I);], obtemos:

[;e^{-i\theta}=\cos\theta -i\sin\theta;]    [;(II);]

Somando e subtraindo [;(II);] de [;(I);], chegamos a uma nova definição das funções trigonométricas:

Definição 4 (Exponencial)  Seja [;z \in \mathbb{C};], então

 [;\cos \theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2};]
[;\sin \theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i};]

Perceba agora que as imagens das funções seno e cosseno não são mais restritas ao intervalo [;[-1,\ 1];] e sim ao conjunto dos complexos¹! Desta forma, podemos afirmar que existe [;\theta \in \mathbb{C};] tal que [;\cos(\theta)=2;], i.e. pela Definição 4:

[;\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=2 \Rightarrow e^{i\theta} + \frac{1}{e^{i\theta}}=4 \Rightarrow {{(e^{i\theta}})}^{2}-4(e^{i\theta})+1=0;]

Aplicando a fórmula resolvente em [;e^{i\theta};] ([;k\in \mathbb{Z};]):

[;e^{i\theta}=\frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2}= 2 \pm \sqrt3;][;\Rightarrow \theta=2k\pi - i\ln(2 \pm \sqrt3);]

Para conhecer um pouco sobre os gráficos das funções trigonométricas complexas, acesse:



¹ Para o leitor mais experiente, como as funções seno e cosseno são analíticas reais (intervalo aberto) e analíticas complexas (disco aberto), pelo Teorema de Liouville temos que de fato essas funções não podem ser limitadas em [;\mathbb{C};], já que não são constantes.


Referências bibliográficas:
APOSTOL, T. M.. Calculus: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra, with applications to Differential Equations and Probability. 2a Ed. Noida: Wiley-India, 1968.
HOLLINGDALE, Stuart. Makers of Mathematics. Harmondsworth: Penguin Books, 1989.
MAOR, Eli. Trigonometric delightshttp://press.princeton.edu/books/maor/