Slogan

"Deus não joga dados..." - A.Einstein

sexta-feira, 29 de abril de 2011

8º desafio

Sejam x, y, z números reais positivos. Prove que



Envie sua solução para dadosdedeus@gmail.com !

sexta-feira, 22 de abril de 2011

1o simulado ITA (Matemática) - RESOLUÇÃO

A pedidos, segue a resolução completa e detalhada do 1o simulado.




Como é uma primeira versão e ainda não foi revisada, é provável possível que haja erros, por isso avisem se encontrarem!


Procuramos colocar algumas soluções diferentes do padrão, que fossem mais rápidas e sagazes que as triadicionais. Qualquer sugestão de resposta diferente será muito bem vinda =D


Bons estudos, galera!

quarta-feira, 20 de abril de 2011

1o simulado ITA (Matemática)


Tendo em vista o feriadão, resolvemos adiantar a confecção dos simulados para animar a páscoa dos nossos leitores candidatos ao vestibular do ITA.

Procuramos tornar o mais próximo possível do que será encontrado em dezembro, tanto nas questões quanto no design. Vale notar que nenhuma das questões da prova foi retirada das avaliações do IME ou do ITA.

Em breve postaremos simulados das outras matérias e, se os leitores aprovarem, podemos realizar um simulado completo com classificação pontuação, para que todos tenham um parâmetro de comparação.



Bons estudos!

quinta-feira, 14 de abril de 2011

Apostila Teoria dos Números (parte I)




A nova apostila do Dados de Deus acaba sair do forno direto para nossos ávidos leitores!

O tópico, escolhido por votação, foi a belíssima Teoria dos Números, muito importante para provas do IME, ITA e olimpíadas.

Nessa primeira parte, apresentamos os tópicos de divisibilidade, números primos, MDC e MMC, com vários exemplos resolvidos e uma lista de desafios/exercícios ao fim de cada seção. Na continuação da série, abordaremos ainda assuntos como congruências e equações diofantinas.

O objetivo da publicação não é introduzir questões básicas e sim solidificar conceitos sobretudo mediante a apresentação de problemas criativos e de alto nível, como o IME vem cobrando.

Lembrando que esta é a primeira versão, passiva de erros. Aguardamos a colaboração de todos com críticas e sugestões. 




terça-feira, 5 de abril de 2011

Poesia matemática

Um Quociente apaixonou-se
Um dia
Doidamente
Por uma Incógnita.

Olhou-a com seu olhar inumerável
E viu-a, do Ápice à Base...

Uma Figura Ímpar;
Olhos rombóides, boca trapezóide,
Corpo ortogonal, seios esferóides.

Fez da sua
Uma vida
Paralela à dela.

Até que se encontraram
No Infinito.

"Quem és tu?" indagou ele
Com ânsia radical.

"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode chamar-me Hipotenusa."

E de falarem descobriram que eram
- O que, em aritmética, corresponde
A alma irmãs -
Primos-entre-si.

E assim se amaram
Ao quadrado da velocidade da luz.

Numa sexta potenciação
Traçando
Ao sabor do momento
E da paixão
Retas, curvas, círculos e linhas sinoidais.

Escandalizaram os ortodoxos
Das fórmulas euclideanas
E os exegetas do Universo Finito.

Romperam convenções newtonianas
E pitagóricas.
E, enfim, resolveram casar-se.

Constituir um lar.
Mais que um lar.
Uma Perpendicular.

Convidaram para padrinhos
O Poliedro e a Bissetriz.

E fizeram planos, equações e
Diagramas para o futuro
Sonhando com uma felicidade
Integral
E diferencial.

E casaram-se e tiveram
Uma secante e três cones
Muito engraçadinhos.

E foram felizes
Até àquele dia
Em que tudo, afinal,
Se torna monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum...

Frequentador de Círculos Concêntricos.
Viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
Uma Grandeza Absoluta,
E reduziu-a a um Denominador Comum.

Ele, Quociente, percebeu
Que com ela não formava mais Um Todo.
Uma Unidade.

Era o Triângulo,
Chamado amoroso.
E desse problema ela era a fracção
Mais ordinária.

Mas foi então que Einstein descobriu a
Relatividade.
E tudo que era expúrio passou a ser
Moralidade

Como aliás, em qualquer
Sociedade.
              (By Millôr Fernandes)

domingo, 3 de abril de 2011

Demonstração via combinatória (Fórmula de Euler)

[;C^{0}_{m}C^{p}_{h}+C^{1}_{m}C^{p-1}_{h}+C^{2}_{m}C^{p-2}_{h}+...+C^{p}_{m}C^{0}_{h}=C^{p}_{m+h} ;]

Vamos provar essa bela identidade utilizando apenas argumentos combinatórios.

Quantos subconjuntos com m mulheres e h homens temos em um grupo de p pessoas? Podemos pensar de duas formas diferentes: somando cada subconjunto possível ou simplesmente escolhendo p pessoas das m+h totais. 
De fato, o número de subgrupos nos quais há exatamente k mulheres é: [;C^{k}_{m}C^{p-k}_{h};]. Logo:

[;\sum^{p}_{k=0}{C^{k}_{m}C^{p-k}_{h}}=C^{p}_{m+h};]

É evidente que poderíamos fazer uma demonstração simples aplicando o Princípio da Indução Finita ou a seguinte identidade:

[;(1+x)^{m}\ .\ (1+x)^{h}=(1+x)^{m+h};] 

O termo genérico do desenvolvimento de [;(1+x)^{m+h};] é [;T_{p+1}=C^{p}_{m+h}x^{p};], o que implica em o coeficiente em [;x^p;] ser [;C^{p}_{m+h};]. Por outro lado:

[;(1+x)^{h}=C^{0}_{h}+C^{1}_{h}x^1+C^{2}_{h}x^2+...+C^{h}_{h}x^{h};]

[;(1+x)^{m}=C^{0}_{m}+C^{1}_{m}x^1+C^{2}_{m}x^2+...+C^{m}_{m}x^{m};] 

O coeficiente de [;x^p;]  no produto [;(1+x)^{h}(1+x)^m;] é:
 
[;C^{0}_{m}C^{p}_{h}+C^{1}_{m}C^{p-1}_{h}+C^{2}_{m}C^{p-2}_{h}+...+C^{p}_{m}C^{0}_{h};]

Logo:
 
[;\sum^{p}_{k=0}{C^{k}_{m}C^{p-k}_{h}}=C^{p}_{m+h};]


Corolário (Fórmula de Lagrange) [;(C^{0}_{n})^2+(C^{1}_{n})^2+...+(C^{n}_{n})^2=C^{n}_{2n};]

Demonstração: Basta aplicar m=h=p=n na fórmula de Euler:

[;C^{0}_{n}C^{n}_{n}+C^{1}_{n}C^{n-1}_{n}+C^{2}_{n}C^{n-2}_{n}+...+C^{n}_{n}C^{n}_{n}=C^{n}_{2n} ;]

Mas [;C^{k}_{n}=C^{n-k}_{n};]. Logo:

[;\sum^{n}_{k=0}(C^{k}_{n})^2=C^{n}_{2n};]

Referência bibliográfica:
MORGADO, A.C. Análise Combinatória e Probabilidade. 9a ed. Rio de Janeiro: SBM

sábado, 2 de abril de 2011

Solução do 7° desafio (Diego Fernandes)

Podemos associar os instantes de chegada dos dois cientistas, no intervalo de 30 min, entre 20:00 e 20:30 horas, a um par (x,y) de [0,30] x [0, 30] representados por pontos em eixos ortogonais x e y em R2. Cada ponto teria coordenadas x, y numericamente iguais à quantidade de minutos dos respectivos instantes de chegada, 20h e x min, 20h e y min , dos dois cientistas.

De acordo com o enunciado, o encontro somente acontecerá se :

[;|y - x| \leq 12;], ou seja , [;y \leq x + 12;] e [;y \geq x - 12;]. Essas duas inequações definem a área hachurada na figura.

 


Logo , seja S a área da região hachurada , temos que : P = S / 302.

[;S=30^{2} - 2\frac{18 x 18}{2} = 30^{2}-18^{2} = 576;] 

Daí , temos : [;P = \frac{576}{900}=0,64;]

Resposta: 64%.  


Parabéns ao Diego Fernandes por ter solucionado mais um de nossos desafios!