Slogan

"Deus não joga dados..." - A.Einstein

quarta-feira, 30 de março de 2011

7° desafio

Bohr e Einstein decidiram se encontrar em um restaurante para tratar de um assunto sobre deus e dados. Eles concordam em chegar entre 20:00 e 20:30 e quem chegar primeiro espera pelo outro por 12 minutos. Se, entretanto, a segunda pessoa não chegar nesse tempo, então a primeira irá embora. Qual é a probabilidade dos dois cientistas se encontrarem?



Envie sua resposta para publicarmos no blog!

terça-feira, 29 de março de 2011

Questão do tqm

Em um triângulo ABC de perimetro 30 cm, o lado BC mede 10 cm e a distância entre os pés das bissetrizes que partem de A é igual a 24cm. Calcule os lados AB e AC do triângulo.
Solução:




Sejam AC = y, CD = x, [;\angle CAD=\alpha;] e [;\angle BEA=\beta;]

Como AD é bissetriz interna e AE é bissetriz externa:

[;\angle CAD=\angle BAD;]

[;\angle FAE=\angle EAB;]

Logo:

[;\angle EAD=90^{o};]

Do teorema da bissetriz interna:

[;\frac{x}{y}=\frac{20-y}{10-x};]

Aplicando o teorema dos senos:

[;\Delta ACE:\ \frac{sin(90^{o}+\alpha)}{24+x}=\frac{sin\beta}{y}\Rightarrow \frac{sin\beta}{cos\alpha}=\frac{2x}{24+x};]   (I)

[;\Delta ABE:\ \frac{sin(90^{o}-\alpha)}{24-(10-x)}=\frac{sin\beta}{20-y}\Rightarrow \frac{sin\beta}{cos\alpha}=\frac{2(10-x)}{14+x};]   (II)

Igualando (I) e (II):

[;\frac{2x}{24+x}=\frac{2(10-x)}{14+x}\Rightarrow x^{2}+14x-120=0;]

Assim, x=6cm, AC= 12cm e AB=8cm.


Referência bibliográfica

segunda-feira, 28 de março de 2011

Apostila Complexos e Geometria - parte II (IME/ITA)

Teorema da Borboleta


Enfim a tão esperada parte II da apostila de complexos e geometria está pronta!


São 10 exercícios de alto nível totalmente resolvidos, além de mais quase 20 extras, envolvendo teoremas clássicos (outros nem tanto, como o da borboleta), problemas do IME, da IMO e seu banco de dados além de diversas outras olimpíadas. Vale salientar que a prova do IME vem ano após ano se aproximando de um perfil olímpico, de modo que o treino desse tipo de questão pode ser extremamente vantajoso.




Há uma frase talhada em uma das paredes da biblioteca do IME que vale a pena ser reproduzida:


"Sê escravo do saber, se queres ser verdadeiramente livre" (Sêneca)


PS.: Vote em nossa enquete para escolher a próxima apostila!

Solução do 6° desafio

Para [;n\geq 2;] temos que:

[;1=cos^{n}x-sin^{x}\leq |cos^n{x}-sin^{n}x|\leq |cos^n{x}|+|sin^{n}x|\leq cos^{2}x+sin^{2}x=1;] 

Assim [;sin^2{x}=|sin^{n}x;]| e [;cos^{2}x=|cos^{n}x|;], do que obtemos [;sin(x),\ cos(x) \in {-1,0,1};]  e os conjuntos-solução:

[;m\pi\ |\ m\in Z;] para n par e [;{2m\pi ,\ 2m\pi-\pi/2\ |\ m\in Z};] 

Para n=1 [;cos^{n}x-sin^{n}x=-sqrt{2}sin{(x-\pi/4)};] que nos leva ao conjunto solução

[;{2m\pi ,\ 2m\pi-\pi/2\ |\ m\in Z};] 


Parabenizamos a todos aqueles que enviaram suas tentativas!

domingo, 27 de março de 2011

Downloads

Confira nessa página todos os materiais publicados para download pelo blog Dados de Deus!
Solicitamos que nos informem qualquer link quebrado/incorreto.

APOSTILAS
SIMULADOS


LISTAS MATEMÁTICA

   Lista 01 - IME/ITA/OLIMPÍADAS - Geometria analítica
   Lista 02 - IME/ITA/OLIMPÍADAS - Desigualdades
   Lista 02 - IME/ITA/OLIMPÍADAS - Desigualdades (SOUÇÕES - PARTE I)
   Lista 03 - IME/ITA/OLIMPÍADAS - Funções
   Lista 04 - IME/ITA/OLIMPÍADAS - Substituições Trigonométricas
   Lista 05 - IME/ITA/OLIMPÍADAS - Revisão IME/ITA
►   Lista Trigonometria (Nível 1)

LISTAS FÍSICA

Em breve mais...

sexta-feira, 25 de março de 2011

Apostila Complexos e Geometria (IME/ITA)



A pedidos, a equipe do Dados de Deus confeccionou uma apostila sobre complexos e geometria, tópico extremamente importante para as provas do IME e do ITA, bem como para seu aprendizado em si. Afinal, há problemas em que bastam algumas poucas linhas de complexos para resolvê-los, mas exigiriam páginas e idéias brilhantes se tratados pela geometria convencional.

Portanto, abrace forte essa ferramenta, pois em uma prova como a do IME aquela questão impossível de geometria pode vir a ser um trunfo na sua pontuação...





EM BREVE PARTE 2 COM QUESTÕES NÍVEL IME RESOLVIDAS!

quinta-feira, 24 de março de 2011

Cursos renomados online (0800!)

Para quem ainda não conhece, o IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) é um dos mais renomados centros de pesquisa e produção científica do Brasil e do mundo. Localizado na cidade do Rio de Janeiro, é um simpático local com uma média de artigos relevantes publicados assustadora, ultrapassando as marcas de grandes universidades como Harvard e Princeton. Veja no blog da UBM (Nossa Pequena Harvard) uma matéria completa. 
O instituto disponibiliza ainda vídeos de palestras e cursos ao vivo e para download no link http://video.impa.br/

O MIT (Massachusetts Institute of Technology), inspiração para escolas nacionais como o ITA também disponibiliza cursos online completos em diversas áreas, na página http://ocw.mit.edu/index.htm
 
Vale a pena conferir!

quarta-feira, 23 de março de 2011

Demonstrações da desigualdade MA ≥ MG

Teorema: Para quaisquer [;n;] números positivos [;a_{1},a_{2},...,a_{n};]

[;\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}};]

Demonstração 1 (por indução):

Para [;n=2;] temos :

[;(a_{1}-a_{2})^2\geq0;]
[;a_{1}^2-2a_{1}a_{2}+a_{2}^2\geq0;]

Fazendo [;a_{1}^2=b_{1};] e [;a_{2}^2=b_{2};]:

[;\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\geq sqrt{a_{1}a_{2}};]

Suponhamos por hipótese que a proposição seja válida para [;n;] e provemos para n+1.

Chamamos [;a_{1}=b_{1}^n;], [;a_{2}=b_{2}^n;] e assim em diante:

[;b_{1}^n+b_{2}^n+...+b_{n}^n\geq nb_{1}b_{2}...b_{n};]

Provemos para [;n+1;]:

[;b_{1}^{n+1}+b_{2}^{n+1}+...+b_{n}^{n+1}+b_{n+1}^{n+1}\geq (n+1)b_{1}b_{2}...b_{n+1};]

Dividindo ambos os membros por [;b_{n+1}^{n+1};] e chamando [;\frac{b_{1}}{b_{n+1}}=c_{1};], [;\frac{b_{2}}{b_{n+1}}=c_{2};] e assim por diante, ficamos com:

[;c_{1}^{n+1} + c_{2}^{n+2}+...+c_{n}^{n+1}+1\geq (n+1)c_{1}c_{2}...c_{n};] [;(*);]

Da hipótese:

[;c_{1}^{n+1}+c_{2}^{n+2}+...+c_{n}^{n+1}\geq n(c_{1}...c_{n})^{\frac{n+1}{n}};] [;(**);]

Agora, de (*) e (**), resta mostrar que ([;k=\sqrt[n]{c_{1}c_{2}...c_{n}};]):


[;(n+1)k^{n}-1\leq nk^{n+1};] 

[;(n+1)k^{n}-1-nk^{n+1}=-nk^{n}(n-1)+(k^{n}-1);] 
[;(k-1)(-nk^{n}+k^{n-1}+...+k+1);]
[;-(k-1)[(k^{n}-k^{n-1})+...+(k^{n}-1)];]
[;-(k-1)^{2}[k^{n-1}+k^{n-2}(k+1)+...+k(k^{n-2}+k^{n-3}+...+k+1)+(k^{n-1}+k^{n-2}+...+k+1)]\leq 0;]

Temos ainda que provar que a igualdade ocorre se e somente se

[;c_{1}=c_{2}=...=c_{n};]

Isso será deixado como exercício para o visitante, já que as etapas de indução são semelhantes.


Demonstração 2 (George Pólya):

Seja [;f:\Re\mapsto\Re;] uma função tal que [;f(x)=e^{x-1}-x;] e com derivada [;f'(x)=e^{x-1}-1;].

Note que [;f(1)=0;]  é um ponto de mínimo global, portanto:

[;e^{x-1}-x\geq0;]
[;e^{x-1}\geq x;]

Aplicando essa desigualdade para [;x=\frac{a_{1}}{M},x=\frac{a_{2}}{M},...;], em que M é a média aritimética de [;a_{1},a_{2},...,a_{n};], obtemos:

[;\frac{a_{1}}{M}\frac{a_{2}}{M}\ ...\ \frac{a_{n}}{M}\leq e^{\frac{a_{1}}{M}-1}e^{\frac{a_{2}}{M}-1}\ ...\ e^{\frac{a_{n}}{M}-1};] 

Mas

[;\frac{a_{1}}{M}\ +\frac{a_{2}}{M}\ +...\ +\frac{a_{n}}{M}-n=0;]

 Logo:

[;\frac{a_{1}}{M}\frac{a_{2}}{M}\ ...\ \frac{a_{n}}{M}\leq 1;] 

E:

[;\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}};] 


Referências bibliográficas:
APOSTOL, Tom Mike, Calculus 1: One-variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra , Wiley India, 2006
YAGLOM, I.M., The USSR Olympiad Problem Book, Dover Publications, 1993
http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means