Slogan

"Deus não joga dados..." - A.Einstein

sexta-feira, 26 de agosto de 2011

11º desafio

Considere a matriz tridiagonal   com 1's em todos os elementos das três diagonais e seja :


 

a) Mostre que .

b) Mostre que

c) Determine a frequência do determinante e o valor de .


Envie sua solução para dadosdedeus@gmail.com. A primeira resolução correta será publicada no blog!

quinta-feira, 18 de agosto de 2011

Demonstração da 2ª Lei de Kepler

As Leis de Kepler descrevem mais que apenas mais um dos muitos modelos físicos em busca da explicação do universo e seus fenômenos. Foram um marco científico, quando permitiram à ciência explicar e prever o comportamento dos mesmos corpos celestes que tanto intrigavam nossos mais longínquos antecessores. Mais ainda (e talvez mais importante), foram um marco filosófico, derrubando de vez a crença aristorélico-ptolomaica de que todo o universo poderia ser modelado de acordo com figuras geométricas místicas definidas como superiores a todas as outras e consagrando a teoria heliocêntrica copernicana.

Johannes Kepler (1571 - 1630) foi um verdadeiro cientista. Ainda que estivesse fortemente convencido das ideias platônicas de que a estrutura do universo poderia ser deduzida por argumentos de perferição e da "harmonia das esferas", Kepler não deixou de buscar novas perspectivas e estudar outros horizontes.

No começo de sua carreira, procurou um modelo planetário utilizando os 5 sólidos platônicos, considerados perfeitos. Em 1597, publicou "Mysterium Cosmographicum", em que descrevia um modelo de sólidos regulares inscritos em esferas de modo a obter as razões entre os raios das órbitas previstas por Copérnico (figura ao lado). O resultado não foi dos melhores.

Começou então a duvidar de sua própria hipótese. Até então, havia suposto que, conforme a teoria de Copérnico, o centro das órbitas planetárias seria o centro da órbita terrestre em torno do Sol. Mas e se isso não estivesse correto? E se o centro fosse o próprio Sol?

Essas dúvidas perturbaram o espírito investigativo do jovem cientista, o que o levou a trabalhar com Tycho Brahe, um dos maiores astrônomos de todos os tempos. Kepler estava interessado nas observações precisas de Tycho sobre as órbitas planetárias. Após 4 anos de trabalho, conseguiu corrigir a teoria de Copérnico e obter bons resultados.

Extremamente observador (característica quase onipresente em grandes cientistas), percebeu um problema em sua última conclusão: um pequeno desvio 8 minutos de arco na órbita de Marte. Mais uma vez seu espírito científico falou mais alto. "Construirei uma teoria do universo baseada nesta discrepância de 8 minutos de arco", afirmou Kepler.

Colocando mais uma vez suas próprias ideias em xeque, resolveu abandonar todos os conceitos e preconceitos e redeterminar a órbita de Marte. Após mais 2 persistentes anos de trabalho, chegou à conclusão de que a órbita do planeta era oval e não circular como se supunha, o que o levou a postular a 1a Lei. O fato de uma figura "imperfeita" (uma elipse, no caso), representar um movimento celestial teve grande impacto nas perspectivas filosóficas da época e naturalmente uma grande rejeição. Consciente da importância de sua obra, escreveu no prefácio de "Harmonices Mundi" (1619):

"Os dados estão lançados; estou escrevendo este livro - não importa se para ser lido pelos meus contemporâneos ou pela posteridade. Ele pode esperar 100 anos por um leitor, já que Deus pôde esperar 6.000 anos pelo aparecimento de um contemplador de sua obra."

Juntamente com a lei das órbitas, Kepler publicou em seu livro "Astronomia Nova" (1609) a 2a Lei, conhecida como lei das áreas. Apenas por uma questão de didática começaremos demonstrando esta.


Como vemos, temos mais a aprender com Kepler do que apenas física. Algumas de suas características pessoais que o levaram a grandes realizações, como curiosidade, precisão, competência, persistência e visão holística. Todos nós, sejamos pesquisadores, engenheiros ou qualquer outro tipo de profissional, devemos nos espelhar nas atitudes de um dos homens mais revolucionários da ciência moderna.

Embora suas leis sejam bastante satisfatórias, é importante ter em mente que foram basicamente empíricas (por isso "leis" e não teoremas). Entretanto, anos mais tarde Isaac Newton, o maior dos gênios da humanidade, segundo Hume, desenvolveu as ferramentas da dinâmica e do cálculo que o permitiram demonstrar matematicamente as ideias de Kepler. Veja a seguir!


Antes de começarmos, vamos estabelecer algumas notações que serão utilizadas ao longo desse artigo:
Vetores: letras maiúsculas sem seta ou minúsculas com seta. 
Ex.: vetor velocidade: [;V;] ou [;\vec{v};].

Norma (ou módulo) de um vetor: Vetor dentro de pares de barras verticais
Ex.: norma do vetor força: [;||F||;]

Escalares: letras minúsculas sem seta. 

1. COORDENADAS POLARES

Faremos agora uma breve introdução sobre uma forma muito útil de representação vetorial e que será largamente utilizada na sequência do post: as coordenadas polares. O leitor familiarizado pode pular essa parte sem prejuízo significativo do entendimento.

Podemos representar um vetor em um plano utilizando dois parâmetros independentes, o seu módulo e o ângulo que faz com as abscissas a cada instante. Considere um sistema cartesiano retangular e um ponto (x, y):



Conforme vemos na figura acima, o vetor posição [;\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j};] que une a origem a (x, y) pode ser decomposto nos eixos [; x ;] e [;y;], de modo que:

[;\vec{r}=r \cos{\theta} \vec{i} + r \sin{\theta} \vec{j} = r(\cos{\theta}\vec{i} + \sin{\theta}\vec{j});] [;= r \vec{u}_r;]  (1.1) 

Chamamos o vetor [;\vec{u}_r;] de unitário radial ou axial.


Derivando a expressão (1.1) em relação ao tempo, obtemos a velocidade:


[;\vec{v} = \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} \vec{u}_r + r \frac{\mathrm{d} \vec{u}_r}{\mathrm{d}t};] (1.2)

Note agora que:


[;\frac{\mathrm{d} \vec{u}_r}{\mathrm{d} \theta} = -\sin{\theta} \vec{i} + \cos{\theta} \vec{j} = \vec{u}_{\theta};] (1.3)

Chamamos o vetor [;\vec{u}_{\theta};] de unitário tangencial. Esse vetor é assim denominado porque aponta sempre na direção tangente à curva em cada ponto, como ilustra a figura abaixo.


De fato:
[;\vec{u}_r . \vec{u}_{\theta} = (\cos{\theta} \vec{i} + \sin{\theta} \vec{j}) . (-\sin{\theta} \vec{i} + \cos{\theta} \vec{j}) = 0 \Rightarrow \vec{u}_r \perp \vec{u}_{\theta};] 

Assim, podemos aplicar (1.3) em (1.2) e obtermos:

[;\vec{v} = r\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} \vec{u}_r + r \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} \vec{u}_{\theta};] (1.4)

Derivando agora (1.4) em relação ao tempo, obtemos a aceleração (omitiremos aqui o algebrismo que, embora desgastante, não apresenta maiores dificuldades):

[;\vec{a} = [\frac{\mathrm{d^2} r}{\mathrm{d} t^2} - r(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t})^{2}] \vec{u}_r + [r \frac{\mathrm{d^2} \theta}{\mathrm{d} t^2} + 2\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}] \vec{u}_\theta;] (1.5)


Podemos ainda encontrar a área de um conjunto radial¹ pelo


Teorema 1.1 Seja [;R;] um conjunto radial de uma função não negativa [;f;] em um intervalo , em que [;0\leq b-a \leq 2\pi;] e assuma que [;R;] é mensurável. Se [;f^{2};] é integrável em [;[a,b];] a área de [;R;] é dada pela integral
[;A(R) = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{2}(\theta) d\theta;] 

Daremos apenas uma prova informal utilizando o conceito de soma de Riemann. Uma demonstração rigorosa pode ser encontrada nas referências bibliográficas.



Basicamente a ideia é dividir a figura acima em setores circulares muito pequenos, ou seja, traçar raios bem próximos entre si. Quanto maior for a partição, mais a área da soma dessas parcelas tende à área buscada. Assim, chamando de [;a_k;] a área de um setor com ângulo de abertura [;\Delta \theta;] e raio [;f(\theta_i);]:
[;a_k = \frac{1}{2} f^{2}(\theta_i) \Delta \theta \Rightarrow A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f^{2}(\theta_i) = \frac{1}{2} \int_{a}^{b}f^{2}(\theta) d\theta;]

2. UM POUCO DE FÍSICA

Para facilitar a notação e aproximar nossa demonstração do lado físico e não somente matemático, vamos estabelecer alguns termos que utilizaremos a partir de agora.

Definição 2.1 Definimos como momento linear ([;\vec{p};]) de uma partícula o vetor

[;\vec{p} = m.\vec{v};] 
Definição 2.2 Definimos como momento angular ([;L;]) de uma partícula o vetor

[;L = \vec{r} \times \vec{\vec{p}} = m \vec{r} \times \vec{p};]

Definição 2.3 Definimos como torque ou momento de uma força ([;\vec{\tau};]) o vetor

[;\vec{\tau} = \vec{r} \times F;] 
Temos ainda o
Teorema 2.1 Para uma partícula com torque [;\vec{\tau};] e momento angular [;L;]:

[;\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t} = \vec{\tau};] 

Demonstração: Bastante simples:

[;\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{\mathrm{d} \vec{p}}{\mathrm{d} t};]

Aplicando a 2a Lei de Newton ([;F = \frac{\mathrm{d} \vec{p}}{\mathrm{d} t};]) e lembrando que o produto vetorial de vetores paralelos é nulo segue o resultado de imediato.

 
3. A DEMONSTRAÇÃO

Teorema 3.1 Uma força é central se e somente se o momento angular relativo ao centro de força é uma constante do movimento.

Demonstração:  Provaremos apenas a ida.

Seja [;F;] a força central. Já vimos que podemos escrever:

[;F=\left \| F \right \| \ \vec{u}_r;] 
Como o produto de vetores paralelos é nulo:
[;\vec{\tau} = \vec{r} \times F = (r \vec{u}_r) \times (\left \| F \right \|\ \vec{u}_r) = O;] 
Mas, do Teorema 2.1:
[;\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t} = \vec{\tau} = O;]

Pelo 2° Teorema Fundamental do Cálculo, segue que [;L;] é constante.

A volta é bastante semelhante, constituindo basicamente em seguir o sentido contrário. Note apenas que, ao invés do 2° TFC, deveremos utilizar o 1°.

Teorema 3.2 Todo movimento devido exclusivamente a uma força central é plano.

Demonstração: Pelo Teorema 3.1, se a força é central, então o momento angular é constante. Note que, se [;L=O;], então  [;\vec{r}\ \parallel\ \vec{v};] e o movimento é retilíneo e o resultado segue de imediato.

Com efeito, se [;L \neq O;], temos das propriedades do produto triplo escalar:
[;\vec{r}\ .\ L\ =\ \vec{r}\ .\ (\vec{r}\ \times\ \vec{p})\ =\ 0;]

Assim, [;\vec{r} \perp L;] i.e. [;\vec{r};] pertence ao plano perpendicular a um vetor fixo, ou seja, o movimento é plano.

Teorema 3.3 Para todo movimento submetido exclusivamente a uma força central, temos [;\left \| L \right \| = mr^{2}\ \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t};] constante.

Demonstração: Se a força é central, então pelo Teorema 3.3, temos que o movimento é plano. Com isso, temos:

[;L = m \vec{r} \times (\vec{v}_{r} + \vec{v}_{\theta}) = m\vec{r} \times \vec{v}_{\theta};]

visto que [;\vec{r}\ \parallel\ \vec{v}_{r} \Rightarrow \vec{r} \times \vec{v}_{r}=O;]. Mas, por (1.4), [;\vec{v}_{\theta} = r \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t};], de modo que podemos escrever:

[;\left \| L \right \| = |m| r v_{\theta}= mr^{2}\ \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t};] 

Uma outra maneira de provar o Teorema 3.3 é aplicar (1.5). Para que a força seja central, a aceleração do movimento também deve ser. Logo:
[;r \frac{\mathrm{d^2} \theta}{\mathrm{d} t^2} + 2 \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} = \frac{1}{r}\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} (r^{2}\ \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}) = 0;] 

Assim, pelo 2° TFC, concluímos que  [;r^{2}\ \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t};] deve ser constante.

Com o resultado do Teorema 3.3, podemos facilmente chegar ao

Teorema 3.4 (2a Lei de Kepler) O vetor posição do Sol a um planeta varre áreas iguais em tempos iguais, i.e. à mesma taxa.


Demonstração: Como o planeta está submetido a uma força central (gravitacional), temos do Teorema 3.3 que [;r^{2}\ \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t};] é constante. Mas do Teorema 1.1 vem:

[;\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}= \frac{1}{2}\ r^{2}\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} = cte.;]

Vale notar que o termo "lei" a rigor não se aplica bem nesse caso, já que, como acabamos de ver, este pode ser demonstrado. O motivo pela qual essa nomenclatura ainda é utilizada é devido ao seu valor histórico, que solidificou o termo no jargão científico.

¹ : O conjunto de todos os pontos com coordenadas polares [;(r,\theta);] satisfazendo as desigualdades
[;0\leq r \leq f(\theta);],             [;a\leq \theta \leq b;] 

é dito radial em [;[a,b];].


Em breve as demonstrações das outras leis. Não deixe de conferir!


Referências bibliográficas:


APOSTOL, T. M.. Calculus: One-Variable Calculus and Linear Algebra, with applications to Differential Equations and Probability. 2a Ed. Noida: Wiley-India, 1968.
NUSSENZVEIG, Herch Moysés Curso de Física básica. 4a ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2002.
ALONSO, Marcelo, FINN, Edward Física: Um Curso Universitário. 2a ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1972.
THOMAS, G. B., Calculus and Analytic Geometry. 3a ed. Mass: Addinson-Wesley, 1962.